Свойства неопределённого интеграла

Цели

Знать:

v Определения первообразной и неопределённого интеграла; их геометрический смысл;

v свойства неопределённого интеграла;

v таблицу интегралов от основных элементарных функций;

v основные методы интегрирования.

Уметь:

v Находить интегралы методом непосредственного интегрирования.

 

▼Функция F (x), определённая в промежутке (a; b), называется первообразной функции f (x)в этом промежутке, если для любого значения выполняется равенство

или dF (x)= f (x) dx (1) ▲

 

Пример. 1) Функция F (x)= х ⁵ — первообразная функции f (x)=5 х ⁴ в промежутке , поскольку для всех х;

2) функция F (x)=ln x первообразная функции в промежутке , так как ;

3) функция F (x)=arcсos x — первообразная функции в интервале (-1;1), т.к. .

 

Теорема. Если F (x) — первообразная функции f (x) на промежутке (a; b),то множество всех первообразных для f (x) задаётся

Ф (х)= F (x)+ С, (2)

где С — произвольная постоянная.

▼Совокупность всех первообразных для функции f (x) на промежутке (a; b) называется неопределённым интегралом от функции f (x) и обозначается ,

где — знак неопределённого интеграла,

функция f (x) — подынтегральная функция,

выражение f (x) dx — подынтегральное выражение.

Таким образом,

, (3)

 

где F (x) — некоторая первообразная для f (x), С — произвольная постоянная.

Аудиторное занятие

Пользуясь основными правилами и формулами интегрирования, найти следующие интегралы, результаты проверить дифференцированием:

aЗдесь и далее при записи ответов постоянную С мы фиксировать не будем.

№1. . Ответ: 3 х.

№2. . Ответ: .

№3. . Ответ: .

№4. . Ответ: tg x -3 cos x.

№5. . Ответ: .

№6. . Ответ: .

№7. . Ответ: .

№8. . Ответ: .

№9. . Ответ: .

№10. .

Ответ: .

№11. . Ответ: .

№12. . Ответ: .

№13. . Ответ: .

№14. .

Указание. Применить формулу .

Ответ: - x -ctg x.

№15. . Ответ: .

№16. .

Указание. Применить формулу cos2 x= cos² x -sin² x.

Ответ: -tg x -ctg x.

№17. .

Ответ: .

№18. .

Указание. Применить формулу .

Ответ: .

№19. . Ответ: .

№20. . Ответ: .

№21. . Ответ: .

№22. . Ответ: -2cos x.

№23. . Ответ: .

 

Домашнее задание

Пользуясь основными правилами и формулами интегрирования, найти следующие интегралы, результаты проверить дифференцированием:

№24. . Ответ: .

№25. . Ответ: .

№26. . Ответ: .

№27. . Ответ: .

№28. . Ответ: .

№29. . Ответ: .

№30. . Ответ: .

№31. . Ответ: .

№32. . Ответ: .

№33. . Ответ: x +cos x.

№34. . Ответ: .

№35. . Ответ: .

№36. . Ответ: .

№37. .

Указание. Учесть, что .

Ответ: tg x - ctg x.

№38. . Ответ: cos x -3ctg x.

№39. . Ответ: .

№40. .

Ответ: .

№41. . Ответ: .

№42. . Ответ: .

№43. . Ответ: .

№44. . Ответ: x -arctg x.

№45. . Ответ: .

 

Дополнительные задания

Пользуясь основными правилами и формулами интегрирования, найти следующие интегралы, результаты проверить дифференцированием:

№46. . Ответ: .

№47. . Ответ: .

№48. . Ответ: .

№49. . Ответ: -4cos x +2 x ⁴-11tg x.

№50. . Ответ: .

№51. . Ответ: .

№52.

Ответ: .

№53. . Ответ: .

№54. . Ответ: .

№55. . Ответ: .

№56. . Ответ: .

№57. . Ответ: .

№58. , где a, b — const.

Ответ: .

№59. , где a, b — const.

Ответ: .

№60. .

Указание. Учесть, что .

Ответ: .

№61. .

Указание. Учесть, что .

Ответ: .

№62. .

Указание. Учесть, что .

Ответ: .

№63. .

Указание. Воспользоваться формулой суммы кубов.

Ответ: sin x -cos x.

Занятие 2

Метод подстановки (замена переменной)

Цели

Знать:

v таблицу дифференциалов от основных элементарных функций;

v таблицу интегралов от основных элементарных функций;

v основные приёмы метода подведения под дифференциал.

Уметь:

v Находить интегралы методом непосредственного интегрирования и методом подведения под дифференциал.

 

Если интеграл непосредственно не берётся, то во многих случаях метод интегрирования заменой переменной приводит к цели.

Пусть требуется найти , где подынтегральная функция непрерывна. Применив подстановку , получим

. (9)

 

Не существует общего «рецепта», следуя которому можно всегда понять, какую подстановку надо применить к данному интегралу, однако после приобретённого навыка вы скоро научитесь этому. Однако следует иметь в виду следующие полезные подсказки:

• Если под знаком интеграла стоит сложная функция , как правило, используется подстановка .
• Если в подынтегральном выражении есть готовый дифференциал функции , т.е. выражение , то имеет смысл попробовать подстановку . Поэтому целесообразно запомнить таблицу дифференциалов.

 

• Правило поправочного коэффициента

 

, (a, b — const). (10)

 

 

Постановка задачи. Найти .

План решения. Для нахождения интеграла следует:

1. переписать интеграл в виде ;
2. заменить , что приводит к равенству ;
3. вычислить последний интеграл;
4. в полученном ответе произвести обратную замену t = .

№2. Найти интегралы:1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) ;

6) , 7) .

►1) = = = = =

= ;

Здесь и далее при записи решений примеров все промежуточные выкладки мы будем заключать между вертикальными линиями.

2) = = =

= =3 х -ln| x +2|+ C;

Замечание. Фактически мы здесь разделили числитель на знаменатель, т.е. из неправильной алгебраической дроби выделили целую часть.

Проверка. ;

3) = = = = t + C = ;

4) = = = = ;

5) = = = = ;

6) = = =ln t + C =ln| x ²+ x +1|+ C;

7) = = = = =

= = t -arctg t = .◄

 

Аудиторное занятие

Найти интегралы:

№64. . Ответ: .

№65. . Ответ: .

№66. . Ответ: .

№67. . Ответ: .

№68. . Ответ: .

№69. . Ответ: .

№70. . Ответ: .

№71. . Ответ: .

№72. . Ответ: .

№73. . Ответ: ln| x ²+5 x -6|.

№74. . Ответ: .

№75. . Ответ: .

№76. . Ответ: sin(ln x).

№77. . Ответ: .

№78. . Ответ: .

№79. . Ответ: ln|2+ln x |.

№80. .

Указание. Подстановка х ³= t. Ответ: .

№81. . Ответ: .

№82. . Ответ: .

№83. . Ответ: x -ln|e ^x +1|.

 

Домашнее задание

Найти интегралы:

№84. . Ответ: .

№85. . Ответ: .

№86. . Ответ: .

№87. . Ответ: -ln |arccos x |.

№88. . Ответ: .

№89. . Ответ: .

№90. . Ответ: .

№91. . Ответ: .

№92. . Ответ: .

№93. . Ответ: .

№94. . Ответ: .

№95. . Ответ: .

№96. . Ответ: .

№97. .

Указание. Выделить . Ответ: .

№98. . Ответ: .

№ 99. . Ответ: .

№100. . Ответ: .

№101. .

Указание. . Ответ: .

№102. . Ответ: .

№103. . Ответ: .

№104. . Ответ: .

Дополнительные задания

Найти интегралы:

№105. . Ответ: .

№106. . Ответ: .

№107. . Ответ: .

№108. . Ответ: x -5ln| x +3|.

№109. . Ответ: .

№110. . Ответ: .

№111. . Ответ: .

№112. . Ответ: .

№113. . Ответ: .

№114. . Ответ: .

№115. . Ответ: .

№116. . Ответ: .

№117. . Ответ: .

№118. . Ответ: .

№119. . Ответ: .

№120. . Ответ: .

№121. . Ответ: .

№122. . Ответ: .

№123. . Ответ: .

№124. . Ответ: .

№125. . Ответ: .

№126. . Ответ: .

№127. . Ответ: .

№128. . Ответ: .

№129. . Ответ: .

№130. . Ответ: .

№131. . Ответ: .

№132. . Ответ: .

№133. .

Ответ: .

№134. .

Ответ: .

№135. .

Указание. Учесть, что .

Ответ: .

 

Примерный вариан решения

индивидуального задания

Найти неопределённые интегралы:

№1. .

► = =

= =

= .◄

№2. .

► = = .◄

№3. .

► = .◄

№4. .

► = .◄

№5. .

► = = =

= .◄

№6. .

► = = = =

= .◄

№7. .

► = = .◄

№8. .

► = .◄

№9. .

► = = = =

= .◄

№10. .

► = = =

= = .◄

№11. .

► = = =

= = .◄

№12. .

► = = =

= = = .◄

№13. .

► = = = =

= .◄

№14. .

► = + = =

= = =

= .◄

№15. .

► = - = =

= = =

= .◄

№16. .

► = = = =

= .◄

 

Занятие 3

Интегрирование по частям

Цели

Знать:

v Суть метода интегрирования по частям;

v основные типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям;

Уметь:

v Применять метод интегрирования по частям при нахождении интегралов.

 

Пусть u и v — две функции аргумента х, имеющие производные и . Тогда справедлива формула:

. (11)

 

При нахождении интегралов методом интегрирования по частям удобно пользоваться таблицей 1 выбора функции u=u (x).

Таблица 1

Таблица выбора функции u=u (x)

вид интеграла	u
; ; .	u = P (x)
; ; ; ; .	u =
возвратные ; ; .	u = или u = . .

 

Постановка задачи. Найти неопределённый интеграл .

План решения. Пусть v (x) имеет очевидную первообразную V (x), а u (x) — дифференцируемая функция, причём её производная является более простой функцией, чем u (x).

1. Выбрать u (x), dv, используя таблицу выбора функции u (x);
2. Найти du; v;
3. Применить формулу (11).

· В некоторых случаях для сведения данного интеграла к одной из формул простейших интегралов формула (11) применяется несколько раз.

• Иногда искомый интеграл определяется из алгебраического уравнения, получающегося с помощью интегрирования по частям (возвратные интегралы);

1. Записать ответ.

 

№3. Найти интегралы: 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

►1) = = =

= ;

2) = =

= = ;

3) = =

= .

Этот интеграл также находим методом интегрирования по частям

= =

= = .

Следовательно,

= ;

4) = =

= .

Этот интеграл также находим методом интегрирования по частям:

=

= .

Подставив это выражение в последнее равенство, имеем:

по условию это выражение равно , т.е.

= .

Разрешим данное выражение относительно интеграла (как неизвестного):

, следовательно,

.◄

 

Аудиторное занятие

Найти интегралы:

№136. . Ответ: sin x - x cos x.

№137. . Ответ: .

№138. . Ответ: .

№139. . Ответ: .

№140. . Ответ: .

№141. . Ответ: .

№142. . Ответ: x tg x +ln|cos x |.

№143. . Ответ: .

№144. .

Указание. Подстановка t =ln x.

Ответ: .

№145. . Ответ: .

№146. . Ответ: .

№147. .

Ответ: .

 

Домашнее задание

Найти интегралы:

№148. . Ответ: x (ln x -1).

№149. . Ответ: